Home Aktualności Nierówności z wartością bezwzgledną – szybkie przypomnienie
formats

Nierówności z wartością bezwzgledną – szybkie przypomnienie

Szybkie przypomnienie sposobu rozwiązywania nierówności modułowych ( z wartością bezwzględną) 

[latex] \sqrt{(x – 4)^2} + |x – 4| – |15 – 3x | + 6 \leq 0 [/latex] 

[latex] |x – 4| + |x – 4| – |15 – 3x | + 6 \leq 0 [/latex] 

[latex] 2|x – 4| – |15 – 3x | + 6 \leq 0 [/latex] 

Sprawdzamy, jak zachowują się wartości podmodułowe dla poszczególnych przedziałów. Czyli sprawdzamy, dla jakich przedziałów ich wartości są dodatnie, a dla jakich ujemne. 

[latex] x – 4 \geq 0 [/latex]                [latex] 15 – 3x \geq 0 [/latex] 
[latex] x \geq 4 [/latex]                          [latex] -3x \geq -15 [/latex] 
[latex] x \geq 4 [/latex]                          [latex] x \leq 5 [/latex] 

nierownosc_z_wartoscia_bezwzgledna

Zgodnie z powyższym wykresem, nierówność rozwiązujemy w podziale na 3 przypadki. Dla przedziałów: 
[latex] (-\infty; 4), \langle 4; 5 \rangle, (5, \infty) [/latex] 
 
[latex] 1. x \in (-\infty; 4)[/latex] 
 
Dla liczb z tego przedziału, wartość podmodułowa [latex] |x – 4| [/latex] jest zawsze liczbą ujemną. Dlatego, po opuszczeniu modułu, dodajemy przed nawiasem znak minus 
 
[latex] -2(x – 4) – (15 – 3x) + 6 \leq 0 [/latex]
[latex] -2x + 8 – 15 + 3x + 6 \leq 0 [/latex]
[latex] x – 1 \leq 0 [/latex]
[latex] x \leq 1 [/latex]
 
Wyznaczamy część wspólną z obu przedziałów: [latex] (-\infty; 4) \cap (-\infty; 1 \rangle [/latex]
[latex] x \in (-\infty; 1 \rangle [/latex]

 
[latex] 2. x \in \langle 4; 5 \rangle[/latex] 
 
Dla liczb z tego przedziału, obie warości podmodułowe są zawsze liczbami dodatnimi. Dlatego spokojnie opuszczamy moduły, zastępując je nawiasami, bez zmiany znaków przed nimi. 
 
[latex] 2(x – 4) – (15 – 3x) + 6 \leq 0 [/latex]
[latex] 2x – 8 – 15 + 3x + 6 \leq 0 [/latex]
[latex] 5x – 17 \leq 0 [/latex]
[latex] 5x \leq 17 [/latex]
[latex] x \leq \frac{17}{5} [/latex]
[latex] x \leq 3\frac{2}{5} [/latex]
 
Wyznaczamy część wspólną z obu przedziałów: [latex] \langle 4; 5 \rangle \cap (-\infty; 3\frac{2}{5} \rangle [/latex]
[latex] x \in \emptyset [/latex]

 
[latex] 3. x \in (5; \infty)[/latex] 
 
Dla liczb z tego przedziału, wartość podmodułowa [latex] |15 – 3x| [/latex] jest zawsze liczbą ujemną. Dlatego, po opuszczeniu modułu, dodajemy przed nawiasem znak minus 
 
[latex] 2(x – 4) + (15 – 3x) + 6 \leq 0 [/latex]
[latex] 2x – 8 + 15 – 3x + 6 \leq 0 [/latex]
[latex] -x + 13 \leq 0 [/latex]
[latex] -x \leq -13 [/latex]
[latex] x \geq 13 [/latex]
 
Wyznaczamy część wspólną z obu przedziałów: [latex] (5; \infty) \cap \langle 13; \infty) [/latex]
[latex] x \in \langle 13; \infty) [/latex]

 
 
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów z przypadków 1, 2, 3, a zatem: [latex] x \in (-\infty; 1 \rangle \cup \langle 13; \infty) [/latex]

Komentowanie nie jest możliwe.