Przykłady i zadania

Kilka przykładów na sprawdzenie, czy zdanie jest tautologią:

1. [latex] (p \Rightarrow q) \Rightarrow q [/latex]

2. [latex](\neg p \vee q) \wedge \neg q [/latex]

3. [latex] p \Rightarrow (p \vee q) [/latex]

Rozwiązania:

Co to znaczy, że zdanie jest tautologią? To znaczy, że dane zdanie jest zawsze prawdziwe. Najłatwiejszą metodą, pozwalającą sprawdzić tautologię zdania, jet metoda zero-jedynkowa, czyli mówiąc najprościej, tworzenie tabelki z wartościami logicznymi zdań składowych.

Tautologię nazywamy inaczej prawem rachunku zdań lub prawem logicznym.

Przejdźmy zatem do sprawdzenia tautologii podanych zdań.

Dodam jeszcze, że nasze rozwiązania opierają się na tabelach rachunku zdań, które znajdują się pod tym linkiem: Tabele rachunku zdań.

 

1. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, posłużymy się tabelkami logicznymi.

Budujemy tabelą, w której rozparzymy zdanie, jako całość, dla każdego rodzaju jego zdań składowych. W celu zbudowania tabelki, zdanie rozkładamy na jak najmniejsze elementy, a więc na: [latex]p, q[/latex],  [latex] (p \Rightarrow q)[/latex] oraz ostatecznie [latex] (p \Rightarrow q) \Rightarrow q [/latex]

 

tautologia1

 

Ponieważ w ostatniej kolumnie nie widnieją tylko wartości równe 1, zatem zdanie nie jest tautologią.

 

2. Rozkładamy zdanie na zdania składowe:

[latex]p, q[/latex], [latex] \neg p [/latex], [latex] \neg q [/latex],

[latex] \neg p \vee q [/latex] oraz ostatecznie [latex](\neg p \vee q) \wedge \neg q [/latex]

i budujemy tabelę:

tautologia2

Widzimy, że to zdanie również nie jest tautologią, ponieważ tutaj również, ostatnia kolumna nie zawiera samych jedynek.

 

3. Kolejny przykład rozkładamy na następujące zdania składowe:

[latex]p, q[/latex],

[latex] (p \vee q)[/latex], [latex]p \Rightarrow (p \vee q)[/latex].

Tabela wygląda następująco:

tautologia3

Ponieważ ostatnia kolumna, w której zawarte jest całe zdanie, zawiera same jedynki, zdanie jest tautologią.

 

Kilka przykładów na określanie wartości logicznej zdania:

1.  [latex] ( -1 < 2 ) \wedge ( 3 > 1 ) [/latex]
Na podstawie tabeli dla koniunkcji, otrzymujemy:
[latex] ( -1 < 2 ) [/latex] – zdanie prawdziwe, czyli wartość 1,
[latex] ( 3 > 1 ) [/latex] – zdanie prawdziwe, czyli wartość 1.>
A zatem [latex] 1 \wedge 1 [/latex] daje 1, czyli zdanie  [latex] ( -1 < 2 ) \wedge ( 3 > 1 ) [/latex] jest prawdziwe.

 

2.  [latex] (2^2 = 4 ) \wedge ( 3^2 = 6 ) [/latex]
Na podstawie tabeli dla koniunkcji, otrzymujemy:
[latex] (2^2 = 4 ) [/latex] - zdanie prawdziwe, czyli wartość 1,
[latex] ( 3^2 = 6 ) [/latex] - zdanie fałszywe, czyli wartość  0.
A zatem [latex] 1 \wedge 0 [/latex] daje 0, czyli zdanie   [latex] (2^2 = 4 ) \wedge ( 3^2 = 6 ) [/latex] jest fałszywe.

 

3.  [latex] (2^2 = 4 ) \vee ( 3^2 = 6 ) [/latex]
Na podstawie tabeli dla alternatywy, otrzymujemy:
[latex] (2^2 = 4 ) [/latex] - zdanie prawdziwe, czyli wartość 1,
[latex] ( 3^2 = 6 ) [/latex] - zdanie fałszywe, czyli wartość  0.
A zatem [latex] 1 \vee 0 [/latex] daje 1, czyli zdanie   [latex] (2^2 = 4 ) \vee ( 3^2 = 6 ) [/latex] jest prawdziwe.

 

4.  [latex] ( -1 > 2 ) \Rightarrow ( 3 > 1 ) [/latex]
Na podstawie tabeli dla implikacji, otrzymujemy:
[latex] ( -1 > 2 ) [/latex] – zdanie fałszywe, czyli wartość 0,
[latex] ( 3 > 1 ) [/latex] – zdanie prawdziwe, czyli wartość 1.
A zatem [latex] 0 \Rightarrow 1 [/latex] daje 1, czyli zdanie  [latex] ( -1 > 2 ) \Rightarrow ( 3 > 1 ) [/latex] jest prawdziwe.

 

5.  [latex] (2^2 = 4 ) \Leftrightarrow ( 3*2 = 6 ) [/latex]
Na podstawie tabeli dla równoważności, otrzymujemy:
[latex] (2^2 = 4 ) [/latex] - zdanie prawdziwe, czyli wartość 1,
[latex] ( 3*2 = 6 ) [/latex] - zdanie prawdziwe, czyli wartość  1.
A zatem [latex] 1 \Leftrightarrow 1 [/latex] daje 1, czyli zdanie   [latex] (2^2 = 4 ) \Leftrightarrow ( 3*2 = 6 ) [/latex] jest prawdziwe.

 

6. W tym przykładzie zapiszmy negację (zaprzeczenie) dla poniższego zdania:
[latex] (2^2 = 4) \wedge (1<3) [/latex]
Korzystając z tabeli dla negacji oraz Igo prawa De Morgana, otrzymujemy:
[latex] \sim ((2^2 = 4) \wedge (1<3)) [/latex]   [latex] \Leftrightarrow [/latex]   [latex] \sim (2^2 = 4) \ \vee \sim (1<3) [/latex]   [latex] \Leftrightarrow [/latex]    [latex] (2^2 \neq 4) \ \vee (1 \geq 3) [/latex]