Przedziały liczbowe

 

Tak, jak zbiory liczb zapisujemy w nawiasach klamrowych, tak przedziały liczbowe zapisujemy w nawiasach zwyczajnych.

I tak, jak w zbiorach liczbowych mówiliśmy tylko o konkretnych, wypisanych, podanych w zbiorze liczbach, tak w przypadku przedziałów, mówimy o wszystkich liczbach rzeczywistych znajdujących się pomiędzy danymi liczbami (wartościami brzegowymi).

Zapis [latex] (a ; b) [/latex] oznacza, że interesują nas wszystkie liczby rzeczywiste znajdujące się pomiędzy liczbami a i b (bez wartości brzegowych a i b ).

Zapis [latex] <a ; b > [/latex] oznacza, że interesują nas wszystkie liczby rzeczywiste znajdujące się pomiędzy liczbami a i b, łącznie z wartościami brzegowymi, czyli liczbami a i b.

 

Przedziały liczbowe ograniczone:

przedzialy
Przedziały liczbowe nieograniczone:

przedzialynieskonczone

Inne sposoby przekształceń przedziału liczbowego:

[latex] x \in (a ; b) \Leftrightarrow [/latex]

 

[latex] \Leftrightarrow a < x < b \Leftrightarrow [/latex]

 

[latex] \Leftrightarrow a < x \wedge x < b \Leftrightarrow [/latex]

 

uklad_przedzialy

 

 

 

Przykłady:

 

1. Zapisz jako przedział liczbowy oraz przedstaw graficzne rozwiązanie:

a)   [latex] -7 \leq x \leq 0 [/latex]

b)   [latex] x > -2 [/latex]

c)   [latex] \{ x \in R : -3 \leq x \leq 4 \} [/latex]

d)   [latex] \{ x \in R : x < 5 \wedge x > -1 \} [/latex]

 

2. Zbiór liczb spełniających obie nierówności, przedstaw w postaci osi liczbowej oraz przedziału liczbowego:

[latex] 3(t+2) + 8 > -10 – (2-t) [/latex]  i  [latex] -3t + 6(t – 4) < 9 [/latex]

 

Rozwiązania:

1.

a)  [latex] x \in \ <-7 ; 0 > [/latex]

przedzialy_zadanie1a

 

 

 

 

b)  [latex] x \in \ (-2 ; \infty) [/latex]

przedzialy_zadanie1b

 

 

 

 

c)  [latex] x \in \ <-3 ; 4 > [/latex]

przedzialy_zadanie1c

 

 

 

 

d)  [latex] x \in \ (-1 ; 5 ) [/latex]

przedzialy_zadanie1d

 

 

 

 

 

2.

Zajmijmy się najpierw pierwszą nierównością:

[latex] 3t + 6 + 8 > -10 – 2 + t [/latex]

[latex] 3t + 14 > -12 + t [/latex]

[latex] 3t – t > -12 -14 [/latex]

[latex] 2t > -26 [/latex]

[latex] t > -13 [/latex]

[latex] t \in \ ( -13 ; \infty ) [/latex]

 

Teraz przekształćmy drugą nierówność:

[latex] -3t + 6t – 24 < 9 [/latex]

[latex] 3t – 24 < 9 [/latex]

[latex] 3t < 9 + 24 [/latex]

[latex] 3t < 33 [/latex]

[latex] t < 11 [/latex]

[latex] t\in \ ( – \infty ; 11 ) [/latex]

 

Oba rozwiązania nanosimy na oś i odczytujemy część wspólną obu rozwiązań:

przedzialy_zadanie2

 

 

 

 

Zatem rozwiązaniem zadania jest przedział:

[latex] t \in \ ( -13 ; 11 ) [/latex]