Pojęcie zbioru

 

 Podstawowe zasady dotyczące zbiorów liczbowych:

  1. Zbiory oznaczamy dużymi literami
  2. Składowe zbioru nazywamy jego elementami
  3. Elementy zbioru zapisujemy w nawiasach klamrowych, np. [latex] A = \{1, 2, 5, 7 \} [/latex]
  4. Elementy zbioru wypisujemy w kolejności rosnącej (zgodnie ze wzrostem liczb na osi układu współrzędnych)
  5. Zbiór ze skończoną (określoną, policzalną) liczbą elementów, nazywamy zbiorem skończonym
  6. Zbiór z nieskończoną ilością elementów, nazywamy zbiorem nieskończonym, np. [latex] C = \{1, 2, 5, 7, … \} [/latex]
  7. Zbiór nie zawierający żadnego elementu, nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem [latex] \emptyset [/latex]
  8. Symbolicznie zapisujemy, że jakiś element należy do danego zbioru, np. [latex] 2 \in N [/latex] i czytamy: „2 jest elementem zbioru liczb naturalnych”, „2 należy do zbioru liczb naturalnych”
  9. Gdy jakiś element nie należy do danego zbioru, używamy symbolu [latex] \notin [/latex]. Np. [latex] -2 \notin N [/latex] i czytamy: ” liczba -2 nie jest elementem zbioru liczb naturalnych” lub „liczba -2 nie należy do zbioru liczb naturalnych”
  10. Gdy jakiś zbiór jest podzbiorem innego zbioru, zapisujemy to symbolicznie: [latex] A \subset B [/latex]. Np. [latex] A = \{3,4\}, B = N [/latex]. Zapisujemy symbolicznie [latex] A \subset B [/latex] i czytamy „zbiór A jest podzbiorem zbioru B” lub „każdy element zbioru A jest elementem zbioru B” lub „zbiór A jest zawarty w zbiorze B”.
  11. Zbiory są sobie równe, kiedy mają te same elementy. Np. [latex] A = \{-2, 2 \} \ oraz \ B = \{x \in R : x^2 = 4 \} [/latex]. Symbolicznie zapisujemy [latex] A = B [/latex]
  12. Zbiory zapisane w postaci warunku, jaki musza spełniać jego elementy, odczytujemy w następujący sposób: [latex]B = \{x \in R : x^2 = 4 \}[/latex] – „zbiór B jest zbiorem elementów należących do zbioru liczb naturalnych takich, że ich kwadrat jest równy 4″

 
Kilka zadań, w celu przyswojenia teorii zbiorów liczbowych:
 

1. Wypisz elementy zbiorów:

a) [latex] A = \{ x \in N: x^2 \leq 9 \} [/latex]

b) [latex] B = \{ x \in R: x^2 = 2 \} [/latex]

c) [latex] C = \{ x \in C: -4 \leq x \leq -2 \} [/latex]

2. Zbadaj relację zawierania i równości pomiędzy podanymi zbiorami:

a) [latex] A = \{ x \in C: x^2 \leq 9 \} [/latex],  [latex] B = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} [/latex]

b) [latex] C = \{ x \in C: x^2 = 49 \} [/latex],  [latex] D = \{ x \in N: x^2 = 49 \} [/latex]

c) [latex] E = \{ x \in N: 4 \leq x^2 \leq 16 \} [/latex],  [latex] F [/latex] - zbiór dzielników liczby 4

 
Rozwiązania:

1. a) Zbiór liczb naturalnych takich, że ich kwadrat jest mniejszy lub równy 9.

        [latex] A = \{ 1, 2, 3 \} [/latex]

 b) Zbiór liczb rzeczywistych takich, że ich kwadrat jest równy 2.

      [latex] B = \{ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \} [/latex]

    c) Zbiór liczb całkowitych większych lub równych -4 i jednocześnie mniejszych lub równych liczbie -2.

       Zapis zbioru możemy przekształcić i zapisać w następujący sposób:

       [latex] C = \{ x \in C: x \geq -4 \wedge x \leq -2 \} [/latex].

       Otrzymujemy zatem rozwiązanie [latex] C = \{ -4, -3, -2 \} [/latex]

2. a) Zajmijmy się najpierw zbiorem A. Jest to zbiór liczb całkowitych takich, że ich kwadrat jest mniejszy lub równy 9.

       Otrzymujemy zatem [latex] A = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} [/latex]

         Zbiór [latex] B = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} [/latex].

         Widzimy zatem, że oba zbiory mają identyczne elementy,

       czyli [latex] A \subset B [/latex], a także [latex] B \subset A [/latex].

       W ostateczności otrzymujemy równość zbiorów: [latex] A = B [/latex].

    b) Zajmijmy się najpierw zbiorem C.

       Jest to zbiór liczb całkowitych takich, że ich kwadrat jest równy 49.

   Otrzymujemy zatem [latex] C = \{ -7, 7 \} [/latex]

         Zbiór D, jest to zbiór liczb naturalnych takich, że ich kwadrat jest równy 49.

     Otrzymujemy [latex] D = \{ 7 \} [/latex].

        Ponieważ zbiór C zawiera wszystkie elementy zbioru D

      (zbiór D jest podzbiorem zbioru C), otrzymujemy:

     [latex] D \subset C [/latex], a także [latex] C \not\subset D [/latex].

     W ostateczności: [latex] C \neq D [/latex].

    c) Zbiór E możemy przekształcić w następujący sposób

     [latex] E = \{ x \in N: x^2 \geq 4 \wedge x^2 \leq 16 \} [/latex]

       Jest to zbiór liczb naturalnych takich, że ich kwadrat jest większy lub równy 4 i jednocześnie mniejszy lub równy liczbie 16.

       Otrzymujemy zatem [latex] E = \{ 2, 3, 4 \} [/latex]

         Zbiór F natomiast wygląda następująco: [latex] F = \{ 1, 2, 4 \} [/latex].

         Widzimy zatem, że ani zbiór E nie jest podzbiorem zbioru F, ani zbiór F nie jest podzbiorem zbioru E,

       czyli [latex] E \not\subset F [/latex], a także [latex] F \not\subset E [/latex] oraz oczywiście [latex] E \neq F [/latex].