Działania na zbiorach

 
Podstawowe działania na zbiorach:

Do rozpatrywania działań na zbiorach, potrzebna będzie nam tak zwana przestrzeń, w której te zbiory się znajdują, czyli zbiór wszystkich elementów, w którym znajdują się te rozpatrywane.

W przypadku zbiorów liczbowych, jeżeli przestrzeń nie została określona dla konkretnego przykładu, rozpatrywaną przestrzenią jest zbiór liczb rzeczywistych R.

 

1. Suma zbiorów A i B

suma_zbiorow

 

Sumą zbiorów A i B, jest zbiór, który zawiera wszystkie elementy należące zarówno do zbioru A, jak i do zbioru B.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{A} \cup \textbf{B} [/latex].

Przykład:

Niech [latex] A = \{-1, 0, 5, 7\} [/latex], [latex] B = \{ 0, 3, 7, 9 \} [/latex].

Sumą zbiorów A i B, będzie zbiór [latex] A \cup B = \{ -1, 0, 3, 5, 7, 9 \}[/latex].

Upraszczając: wszystkie elementy z obu zbiorów wrzucamy do jednego worka, bez powtórzeń i ustawiamy je w kolejności rosnącej.

 

2. Iloczyn zbiorów A i B

iloczyn_zbiorow

 

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B, jest zbiór, który zawiera elementy należące jednocześnie do obu zbiorów.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{A} \cap \textbf{B} [/latex].

Przykład:

Niech [latex] A = \{-1, 0, 5, 7\} [/latex], [latex] B = \{ 0, 3, 7, 9 \} [/latex].

Iloczynem zbiorów A i B, będzie zbiór [latex] A \cap B = \{ 0, 7 \}[/latex].

 

3. Różnica zbiorów A i B

roznica_zbiorowA

 

roznica_zbiorowB

 

Różnicą zbiorów A i B, jest zbiór, który zawiera elementy należące do zbioru A, ale nie należące do zbioru B.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{A} \setminus \textbf{B} [/latex].

Przykład:

Niech [latex] A = \{-1, 0, 5, 7\} [/latex], [latex] B = \{ 0, 3, 7, 9 \} [/latex].

Różnicą zbiorów A i B, będzie zbiór [latex] A \setminus B = \{ -1, 5 \}[/latex].

Upraszczając: ze zbioru A wyrzucamy wszystkie te elementy, które należą do zbioru B i ustawiamy je w kolejności rosnącej. Mówiąc potocznie, zbiór A jest samolubem i nie chce mieć ze zbiorem B nic wspólnego, czyli dosłownie, ze zbioru A wyrzucamy jego część wspólną ze zbiorem B.

W drugą stronę, różnicą zbiorów B i A, będzie zbiór [latex] B \setminus A = \{ 3, 9 \}[/latex].

 

4. Dopełnienie zbiorów A i B do przestrzeni U

dopelnienieU

 

Dopełnieniem zbiorów A i B do przestrzeni U, jest zbiór, który zawiera elementy należące do zbioru U, ale nie należące do sumy zbiorów A i B.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{U} \setminus (\textbf{A} \cup \textbf{B}) = \textbf{U’} [/latex].

Przykład:

Niech [latex] U = \{-2, -1, 0, 1, …, 9, 10 \} [/latex], [latex] A = \{-1, 0, 5, 7\} [/latex], [latex] B = \{ 0, 3, 7, 9 \} [/latex].

Sumą zbiorów A i B, będzie zbiór [latex] A \cup B = \{ -1, 0, 3, 5, 7, 9 \}[/latex].

Zatem dopełnieniem będzie zbiór: [latex] U’ = U \setminus (A \cup B) = \{ -2, 1, 2, 4, 6, 8, 10 \} [/latex]

Upraszczając: ze zbioru U wyrzucamy wszystkie te elementy, które należą do sumy zbiorów A i B i ustawiamy je w kolejności rosnącej. Mówiąc potocznie, zbiór U jest samolubem i nie chce mieć ze zbiorami A i B nic wspólnego, czyli dosłownie, ze zbioru U wyrzucamy wszystkie elementy zbiorów A i B.