Działania na przedziałach liczbowych

 

Podstawowe działania na przedziałach liczbowych:

Przyjmowane są następujące oznaczenia:

- kółko puste oznacza, ze dana liczba nie należy do rozpatrywanego przedziału

- kółko zamalowane oznacza, że dana liczba należy do danego przedziału

- analogiczne oznaczenia dla zakresów oznaczanych kreskami przerywanymi i ciągłymi.

 

Weźmiemy dwa przykładowe przedziały:

[latex] A = <-3 ; 2 ), B = ( -1 ; 5 ) [/latex]

przedzialydzialaniaAB

1. Suma przedziałów A i B

 

przedzialysumaABSumą przedziałów A i B, jest przedział, który zawiera wszystkie liczby należące zarówno do przedziału A, jak i do przedziału B.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{A} \cup \textbf{B} [/latex]

Przykład:

Sumą przedziałów A i B, będzie przedział [latex] A \cup B = < -3 ; 5 )[/latex]

Upraszczając:

wszystkie elementy z obu przedziałów wrzucamy do jednego worka, zwracając uwagę na wartości brzegowe.

 

2. Iloczyn (część wspólna) przedziałów A i B

przedzialyiloczynAB

Iloczynem (częścią wspólną) przedziałów A i B, jest przedział, który zawiera liczby należące jednocześnie do obu przedziałów.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{A} \cap \textbf{B} [/latex]

Przykład:

Iloczynem przedziałów A i B, będzie przedział [latex] A \cap B = ( -1 ; 2 ) [/latex]

! Uwaga:

pamiętajmy o szczególnym zwróceniu uwagi na wartości brzegowe: ponieważ liczba  [latex] -1 \notin B [/latex], nie należy ona również do części wspólnej przedziałów. Tak samo, ponieważ liczba  [latex] 2 \notin A [/latex], zatem nie należy ona również do iloczynu przedziałów. Stąd, częścią wspólną w naszym przykładzie, jest przedział obustronnie otwarty.

 

3. Różnica przedziałów A i B

przedzialyroznicaAB

Różnicą przedziałów A i B, jest przedział, który zawiera elementy należące do przedziału A, ale nie należące do przedziału B.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{A} \setminus \textbf{B} [/latex].

Przykład:

Różnicą przedziałów A i B, będzie przedział [latex] A \setminus B = < -3 ; -1 > [/latex].

! Uwaga:

z przedziału A wyrzucamy przedział B, a zatem, ponieważ liczba  [latex] -1 \notin B [/latex], nie musimy wyrzucać jej z przedziału A. Dlatego rozwiązaniem naszego przykładu jest przedział obustronnie zamknięty, zawierający swoje wartości brzegowe.

 

Rozpatrując przypadek w drugą stronę:

przedzialyroznicaBA

Różnicą przedziałów B i A, będzie przedział [latex] B \setminus A = < 2 ; 5 ) [/latex].

! Uwaga:

z przedziału B wyrzucamy przedział A, a zatem, ponieważ liczba  [latex] 2 \notin A [/latex], nie musimy wyrzucać jej z przedziału B. Dlatego rozwiązaniem naszego przykładu jest przedział lewostronnie zamknięty.

 

4. Dopełnienie przedziału A 

przedzialydopelnienieA

Dopełnieniem przedziału A,  jest przedział zawierajacy takie liczby należące do zbioru liczb rzeczywistych, które nie należą do przedziału A.

Symbolicznie zapisujemy [latex] \textbf{A’} = \textbf{R} \setminus \textbf{A} [/latex].

Przykład:

Dopełnieniem przedziału A, będzie przedział złożony z sumy przedziałów:

[latex] A’ = R \setminus A = ( -\infty ; -3 ) \ \cup < 2 ; \infty) [/latex].

Upraszczając:

ze zbioru liczb rzeczywistych wyrzucamy wszystkie liczby, które zawiera przedział A.

! Uwaga:

ponieważ liczba  [latex] -3 \in A [/latex], wyrzucamy ją z dopełnienia przedziału.

Analogicznie, ponieważ liczba  [latex] 2 \notin A [/latex], należy ona do dopełnienia przedziału A.

Home Matematyka Materiały Liczby i ich zbiory Działania na przedziałach liczbowych