Miejsce zerowe funkcji

 

Zacznijmy od definicji miejsca zerowego:

Miejscem zerowym  funkcji    [latex]y = f(x) [/latex], nazywamy taką wartość argumentu [latex] x [/latex], dla którego [latex] f(x) = 0 [/latex].

Oznaczamy je najczęściej, jako  [latex] x_0 [/latex]

Przekładając powyższą definicję na język bardziej zrozumiały:

jest to taka liczba, która podstawiona do wzoru funkcji za x, daje wartość f(x) równą zero

Miejsce zerowe funkcji możemy odczytywać również z jej wykresu.

Wtedy, miejscem zerowym jest x, dla którego y równy jest zero, czyli dosłownie, jest to liczba, w miejscu której, wykres funkcji przecina oś X.

! Uwaga:

Pierwszą rzeczą, jaką wykonujemy przed badaniem jakichkolwiek własności funkcji, jest określenie jej dziedziny.

 

Przykłady:

1. Odczytywanie miejsca zerowego funkcji z jej wykresu:

miejsce_zerowe_f_liniowamiejsce_zerowe_funkcja

miejsce_zerowe_funkcja_bez_miejsca_zerowego

miejsce_zerowe_funkcja1

miejsce_zerowe_funkcja_bez_miejsca_zerowego1

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Obliczanie miejsca zerowego funkcji ze wzoru:

  • [latex] f(x) = 4x – 4 [/latex] ,      [latex] D_f = R [/latex]

[latex]4x-4 = 0 [/latex]

[latex]4x = 4 [/latex]

[latex] \underline{x_0 = 1} [/latex]

[latex]x_0 \in D_f[/latex], zatem jest miejscem zerowym funkcji

 

  • [latex] f(x) = x^2 – 16 [/latex] ,      [latex] D_f = R [/latex]

[latex]x^2 – 16 = 0 [/latex]

[latex]x^2 = 16 [/latex]

[latex] \underline{x_1 = -4} [/latex]   lub    [latex] \underline{x_2 = 4} [/latex]

[latex]x_1, x_2 \in D_f[/latex], zatem są miejscami zerowymi funkcji

 

  • [latex] f(x) = x^2 + 16 [/latex] ,      [latex] D_f = R [/latex]

[latex]x^2 + 16 = 0 [/latex]

[latex]x^2 = -16 [/latex]

[latex] \underline{x_0 \in \phi} [/latex] , zatem funkcja nie posiada miejsc zerowych

 

  • [latex] f(x) = x^3 – 8 [/latex] ,      [latex] D_f = R [/latex]

[latex] x^3 – 8 = 0 [/latex]

[latex] x^3 = 8 [/latex]

[latex] x = \sqrt[3]{8} [/latex]

[latex] \underline{x_0 = 2} [/latex]

[latex]x_0 \in D_f[/latex], zatem jest miejscem zerowym funkcji

 

  • [latex] f(x) = x(x-2) [/latex] ,      [latex] D_f = R [/latex]

[latex]x(x-2) = 0 [/latex]

[latex]x = 0 [/latex]   lub    [latex] x-2 = 0 [/latex]

[latex] \underline{x_1 = 0} [/latex]   lub    [latex] \underline{x_2 = 2} [/latex]

[latex]x_1, x_2 \in D_f[/latex], zatem są miejscami zerowymi funkcji

 

  • [latex] f(x) = (x-1)(x+4) [/latex] ,      [latex] D_f = R [/latex]

[latex](x-1)(x+4) = 0 [/latex]

[latex]x – 1 = 0 [/latex]   lub    [latex] x + 4 = 0 [/latex]

[latex] \underline{x_1 = 1} [/latex]   lub    [latex] \underline{x_2 = -4} [/latex]

[latex]x_1, x_2 \in D_f[/latex], zatem są miejscami zerowymi funkcji

 

  • [latex] f(x) = \sqrt{x + 9} [/latex]

[latex] D_f: x + 9 \geq 0 [/latex]

[latex] D_f: x \geq -9 [/latex]

[latex] D_f: x \in <-9; \infty) [/latex]

 

[latex] x + 9 = 0 [/latex]

[latex] \underline{x_0 = -9} [/latex]

[latex]x_0 \in D_f[/latex], zatem jest miejscem zerowym funkcji

 

  • [latex] f(x) = \frac{8}{4x + 5} [/latex]

[latex] D_f: 4x + 5 \neq 0 [/latex]

[latex] D_f: x \neq – \frac{5}{4} [/latex]

[latex] D_f = R \setminus \{- \frac{5}{4}\} [/latex]

 

[latex]\frac{8}{4x + 5} = 0 [/latex]

[latex]8 = 0 [/latex] – fałsz, zatem funkcja nie posiada miejsc zerowych

 

  • [latex] f(x) = \frac{2x}{x – 7} [/latex]

[latex] D_f: x – 7 \neq 0 [/latex]

[latex] D_f: x \neq 7 [/latex]

[latex] D_f: R \setminus \{7\} [/latex]

 

[latex]\frac{2x}{x – 7} = 0 [/latex]

[latex] 2x = 0 [/latex]

[latex] \underline{x_0 = 0} [/latex]

[latex]x_0 \in D_f[/latex], zatem jest miejscem zerowym funkcji

 

  • [latex] f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} [/latex]

[latex] D_f: x^2 + 1 \neq 0 [/latex]

[latex] D_f: x^2 \neq -1 [/latex], dla każdego [latex] x \in R [/latex]

[latex] D_f = R [/latex]

 

[latex]\frac{x}{x^2 + 1} = 0 [/latex]

[latex] \underline{x_0 = 0} [/latex]

[latex]x_0 \in D_f[/latex], zatem jest miejscem zerowym funkcji

 

  • [latex] f(x) = \frac{\sqrt{x-3}}{x} [/latex]

[latex] D_f: x – 3 \geq 0 \wedge x \neq 0 [/latex]

[latex] D_f: x \geq 3 \wedge x \neq 0 [/latex]

[latex] D_f: x \in <3; \infty ) [/latex]

 

[latex] \frac{\sqrt{x-3}}{x} = 0 [/latex]

[latex] \sqrt{x-3} = 0 [/latex]

[latex] x-3 = 0 [/latex]

[latex] \underline{x_0 = 3} [/latex]

[latex]x_0 \in D_f[/latex], zatem jest miejscem zerowym funkcji

 

  • [latex] f(x) = \frac{1 – x^2}{x – 1} [/latex]

[latex] D_f: x – 1 \neq 0 [/latex]

[latex] D_f: x \neq 1 [/latex]

[latex] D_f: R \setminus \{1\} [/latex]

 

[latex] \frac{1 – x^2}{x – 1} = 0 [/latex]

[latex] 1 – x^2 = 0 [/latex]

[latex] 1 = x^2 [/latex]

[latex] \underline{x_1 = -1} [/latex]   lub    [latex] \underline{x_2 = 1} [/latex]

[latex]x_1 \in D_f[/latex], [latex]x_2 \notin D_f[/latex], zatem funkcja posiada tylko jedno miejsce zerowe [latex]x_1 = -1[/latex]

 

  • [latex] f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} [/latex]

[latex] D_f: x – 2 \neq 0 [/latex]

[latex] D_f: x \neq 2 [/latex]

[latex] D_f: R \setminus \{2\} [/latex]

 

[latex] \frac{x^2 – 4}{x – 2} = 0 [/latex]

[latex] x^2 – 4 = 0 [/latex]

[latex] x^2 = 4 [/latex]

[latex] \underline{x_1 = -2} [/latex]   lub    [latex] \underline{x_2 = 2} [/latex]

[latex]x_1 \in D_f[/latex], [latex]x_2 \notin D_f[/latex], zatem funkcja posiada tylko jedno miejsce zerowe [latex]x_1 = -2[/latex]