Macierze

 

Macierzą w matematyce nazywamy układ liczb, symboli lub wyrażeń, zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.

Elementy macierzy A symbolicznie oznaczamy   [latex] a_{ij} [/latex], gdzie wskaźniki i, j oznaczają element leżący na przecięciu  i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Dla [latex] m,n \in C [/latex], niepustego zbioru X, macierzą [latex] n \times m [/latex] o n wierszach i m kolumnach, w zbiorze X, nazywamy tablicę:

[latex] A = [a_{ij}]_{n \times m} = \left[\begin{array}{cccc}

a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\

a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}

\end{array}\right][/latex]

[latex] i=1, \cdots ,n [/latex]

[latex] j=1, \cdots ,m [/latex]

 

Rodzaje macierzy:

1. Macierz kwadratowa

Jest to macierz o jednakowej liczbie wierszy i kolumn. [latex] n = m [/latex]

Przykład:

[latex] A = [a_{ij}]_{n \times n} = \left[\begin{array}{ccc}

1&2&3\\

-2&-5&2\\

-3&1&5

\end{array}\right][/latex]

 

2. Macierz diagonalna

Jest to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną, są równe zeru.  [latex] a_{ij} = 0 \ dla \ i \neq j [/latex]

Przykład:

[latex] A = [a_{ij}]_{n \times n} = \left[\begin{array}{ccc}

1&0&0\\

0&-5&0\\

0&0&5

\end{array}\right][/latex]

 

3. Macierz jednostkowa

Jest to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są równe jeden, a pozostałe są zerami.  [latex] a_{ij} = 1 \ dla \ i = j [/latex],  [latex] a_{ij} = 0 \ dla \ i \neq j [/latex]

Przykład:

[latex] A = [a_{ij}]_{n \times n} = \left[\begin{array}{ccc}

1&0&0\\

0&1&0\\

0&0&1

\end{array}\right][/latex]

 

4. Macierz zerowa

Jest to macierz, w której wszystkie elementy są równe zeru.  [latex] a_{ij} = 0 [/latex]

Przykład:

[latex] A = [a_{ij}]_{n \times m} = \left[\begin{array}{ccc}

0&0&0\\

0&0&0

\end{array}\right][/latex]

 

5. Macierz symetryczna

Jest to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy rozmieszczone symetrycznie po obu stronach głównej przekątnej są sobie równe. [latex] a_{ij} = a_{ji} [/latex]

Przykład:

[latex] A = [a_{ij}]_{n \times n} = \left[\begin{array}{ccc}

1&2&-5\\

2&3&7\\

-5&7&5

\end{array}\right][/latex]

 

6. Macierz antysymetryczna

Jest to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy rozmieszczone symetrycznie po obu stronach głównej przekątnej są przeciwne (elementy na głównej przekątnej są równe zeru). [latex] a_{ij} =- a_{ji} [/latex]

Przykład:

[latex] A = [a_{ij}]_{n \times n} = \left[\begin{array}{ccc}

0&-2&-5\\

2&0&7\\

5&-7&0

\end{array}\right][/latex]

 

 

Podstawowe działania na macierzach:

1. Dodawanie macierzy

Dodawanie możemy wykonywać tylko dla macierzy o takich samych wymiarach. Dodajemy do siebie elementy o takich samych współrzędnych. Wynikiem jest macierz o takim samym wymiarze, jak macierze wyjściowe.

 

[latex] \left[\begin{array}{cccc}

a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\

a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}

\end{array}\right] +

\left[\begin{array}{cccc}

b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1m}\\

b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nm}

\end{array}\right]

=

\left[\begin{array}{cccc}

a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1m}+b_{1m}\\

a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2m}+b_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a_{n1}+b_{n1}&a_{n2}+b_{n2}&\cdots&a_{nm}+b_{nm}

\end{array}\right]

[/latex]

 

Przykład:

[latex]\left[\begin{array}{ccc}

1&2&3\\

-2&-5&2\\

-3&1&5

\end{array}\right] +

\left[\begin{array}{ccc}

3&2&1\\

-4&-2&5\\

-1&2&4

\end{array}\right] =

\left[\begin{array}{ccc}

1+3&2+2&3+1\\

-2-4&-5-2&2+5\\

-3-1&1+2&5+4

\end{array}\right]

=

\left[\begin{array}{ccc}

4&4&4\\

-6&-7&7\\

-4&3&9

\end{array}\right]

[/latex]

 

2. Odejmowanie macierzy

Odejmowanie macierzy wykonujemy analogicznie do dodawania. Możemy wykonywać tylko dla macierzy o takich samych wymiarach. Odejmujemy od siebie elementy o takich samych współrzędnych. Wynikiem jest macierz o takim samym wymiarze, jak macierze wyjściowe.

 

[latex] \left[\begin{array}{cccc}

a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\

a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}

\end{array}\right] -

\left[\begin{array}{cccc}

b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1m}\\

b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nm}

\end{array}\right]

=

\left[\begin{array}{cccc}

a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&\cdots&a_{1m}-b_{1m}\\

a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&\cdots&a_{2m}-b_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a_{n1}-b_{n1}&a_{n2}-b_{n2}&\cdots&a_{nm}-b_{nm}

\end{array}\right]

[/latex]

 

Przykład:

[latex]\left[\begin{array}{ccc}

1&2&3\\

-2&-5&2\\

-3&1&5

\end{array}\right] -

\left[\begin{array}{ccc}

3&2&1\\

-4&-2&5\\

-1&2&4

\end{array}\right] =

\left[\begin{array}{ccc}

1-3&2-2&3-1\\

-2+4&-5+2&2-5\\

-3+1&1-2&5-4

\end{array}\right]

=

\left[\begin{array}{ccc}

-2&0&2\\

2&-3&-3\\

-2&-1&1

\end{array}\right]

[/latex]

 

3. Mnożenie macierzy przez skalar

Mnożenie macierzy przez skalar (stałą), polega na pomnożeniu każdego wyrażenia macierzy przez daną stałą. W wyniku otrzymujemy macierz o takim samym wymiarze, jak macierz wyjściowa.
Własności dla działań na macierzach ze skalarem:

[latex] c(A+B) = cA + cB[/latex]

[latex] c(A-B) = cA – cB[/latex]

[latex] c(AB) = (AB)c = (cA)B[/latex]

 

[latex] c \cdot \left[\begin{array}{cccc}

a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\

a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}

\end{array}\right]

=

\left[\begin{array}{cccc}

ca_{11}&ca_{12}&\cdots&ca_{1m}\\

ca_{21}&ca_{22}&\cdots&ca_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

ca_{n1}&ca_{n2}&\cdots&ca_{nm}

\end{array}\right]

[/latex]

 

4. Mnożenie macierzy

Mnożenie dwóch macierzy możemy wykonać jedynie wtedy, kiedy liczba kolumn pierwszej macierzy, jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy.

Jeżeli pierwsza macierz [latex]A [/latex] jest wymiaru [latex] n \times l [/latex], a druga macierz [latex]B[/latex] jest wymiaru [latex] l \times m [/latex],
to wynik będący ich iloczynem [latex]C= AB = A \cdot B [/latex] jest wymiaru [latex] n \times m [/latex]

 

[latex] \left[\begin{array}{cccc}

1&3&4\\

2&5&1

\end{array}\right] \cdot

\left[\begin{array}{cccc}

2&4\\

5&1\\

3&7

\end{array}\right]

=

\left[\begin{array}{cccc}

(1\cdot2+3\cdot5+4\cdot3)&(1\cdot4+3\cdot1+4\cdot7)\\

(2\cdot2+5\cdot5+1\cdot3)&(2\cdot4+5\cdot1+1\cdot7)

\end{array}\right]
=
[/latex]

[latex]=\left[\begin{array}{cccc}

(2+15+12)&(4+3+28)\\

(4+25+3)&(8+5+7)

\end{array}\right]

=\left[\begin{array}{cccc}

28&35\\

32&20

\end{array}\right]

[/latex]

 

A bardziej wizualnie, mnożenie wykonuje się w następujący sposób:

mnozenie

 

 

Czerwone złączenie, to wyrażenie [latex] a_{11}[/latex],

zielone złączenie, to wyrażenie [latex] a_{12}[/latex]

w macierzy będącej iloczynem dwóch macierzy.

Dla drugiego wiersza, działanie jest analogiczne.