Granice ciągów –

przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania

 

Poniżej garść przykładów oraz zadań do samodzielnego rozwiązania, wraz z rozwiązaniami.

 

Na podstawie najprostszego przykładu, zobaczmy, jak graficznie przedstawia się granica ciągu liczbowego:

[latex] \lim_{n \to \infty } n = \infty [/latex]

granica_dla_n_przyklad_graficzny

 

Rysunek przedstawia wykres ciągu o wyrazie ogólnym [latex] a_{n} = n [/latex].

Widać, że dla kolejnych n, wyrazy tego ciągu dążą do plus nieskończoności.

Zatem granicą tego ciągu, dla [latex] n \rightarrow \infty [/latex], będzie [latex] \infty [/latex].

 

 

 

 

Kolejne proste przykłady:

granica_dla_3 oraz_ulamka_do_n

 

 

 

Następne przykłady rozwiązane zostały metodą wyciągania n w największej potędze przed nawias. Korzystamy również z własności granic ciągów (przyp. Granice ciągów)

1_n_przed_nawias

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Poniżej przykład, w którym natrafiamy na iloczyn nawiasów. Radzimy sobie z nimi w następujący sposób:

granica_z_iloczynem_nawiasow

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Poniżej kolejna garść przykładów, z wyłączaniem n przed nawias:

granice_wylaczanie_n_przed_nawias

Tym razem zajmiemy się granicami, w których występuje potęga „n”. Do obliczenia granic takich ciągów, skorzystamy z własności opisanych na stronie: Granice ciągów

granica_dla_potegi_n

Przykłady z potęgą „n” oraz ułamki zwykłe:

granice_dla_potegi_n_w_ulamku

I jeszcze trochę przykładów, czyli ułamki, pierwiastki, silnie:

granice_pierwiastki_ulamki_silnia

 

granice_pierwiastki_ulamki

Poniżej przykłady dla granic z liczbą Nepera:
granice_liczbe_e_nepera

Home Matematyka Materiały Dodatkowe Granice ciągów – przykłady i zadania